Hast du den iPod schon mal über iTunes auf Werkseinstellungen zurückgesetzt? Vielleicht löst das dein Problem.
Ansonsten klingt das schon sehr nach einem Problem mit dem Akku.

Entweder das - oder du lebst mit dem Problem. Der iPod schaltet sich meines Wissens nach erst bei ziemlich hoher Hitze aus (ca. 40 Grad) und solche Temperaturen haben wir hier in DE ja glücklicherweise eher selten.
Oder schaltet sich der iPod bei dir schon bei deutlich niedrigeren Temperaturen aus?

Auf jeden Fall sollte sich der iPod danach aber auch ohne Ladekabel einschalten lassen - vorausgesetzt, er ist bis dahin wieder abgekühlt.

Hast du ihn schon mal über iTunes wiederhergestellt?

Wenn das auch nichts bringt, dann liegt vermutlich ein Hardwaredefekt vor und du musst ihn tauschen lassen.

Ich denke nicht, dass icloner da mehr bringt als iTunes....
WAS fehlt denn, wenn du versuchst mit iTunes , den iPod wieder herzustellen?

Wir können hier nur spekulieren und das bringt nix....
Das, was Du machen konntest, nämlich den iPod über iTunes wieder herstellen, hast du gemacht.
Aufgrund deiner Beschreibung vermute ich einen Hardware Defekt....
Das, was du beschriebst, ist für einen iPod nicht normal .....

Je nach deinem Budget und Möglichkeiten bringe ihn zur Reparatur....

Tritt das Problem denn auf, seit du den Nano hast, oder erst seit kurzer Zeit?
Wenn du testen möchtest, ob es am Akku liegt, wirst du nicht viel tun können, außer einen anderen Akku einzubauen und zu testen.

Bei meinem iPod war es so ähnlich, nur dass er eben nicht bei großer Hitze, sondern bei großer Kälte ausgegangen ist. Wie ich feststellen konnte lag es am Akku. Vielleicht liegt es bei dir auch am Akku? Einfach mal austauschen wenn das wiederherstellen des iPods nicht geholfen hat.